缘起

数学一直是我的弱项，最近准备研究生于是痛定思痛对以前学的数学内容做个小整理。篇幅短小是因为打latex公式太麻烦了（没错虽然笔记记录在ipad上可以导出pdf，但意识流笔记，字迹排版啥还是太抽象了，就不嫌丑发出来了QwQ）

对大学数学的分类

我专业比较吃数学，回顾大一到大三，基本数学学习的脉络是这样的：

1. 数学分析，高数增强版（掐人中
2. 线性代数
3. 概率论
4. 工科数学基础（复分析，场论和数学物理方法）
5. 离散数学
6. 随机过程

非常惨烈的是数学知识点一般会落后于专业课，所以专业课需要超前点映一些数学的内容，这时候就会非常懵逼（啊，我吗？.JPG）

当然一般专业学数学就学前三项，我一般称为“三板斧”。三板斧学好了后面学起来也不会太折磨。

数分相关

第一个要学的是 集合，函数 。集合是函数的操作对象，广义上说函数就是一个集合到另一个集合的对应关系（映射），当然一般我们在实分析里面默认集合就是 $R, R^2, R^3$，对应实数域，二维空间和三维空间。

在此基础上我们给出 极限和连续 的定义，为高等数学提供了一个区分高中的数学抓手。

函数研究的是其性态，包括 最大最小值/极大极小值，奇偶性，周期性 。在此基础上我们可以研究函数的图像，并给出几个初等函数及其经典图像。当然，基础的性态不足以完整刻画函数的特点，于是基于极限，我们进一步提出刻画的工具——导数，以及对应的三个定理：中值定理，微分等式和微分不等式。

以上内容构成一元函数微分学内容。而一元函数积分学按照上面思路，给出积分的计算方法，积分等式与不等式，并顺势推广到多元函数—— 多元函数微分学和多元函数积分学 。

需要注意的是， 二重积分 其实属于多元函数积分学内，但课本单独提出。而 微分方程 属于多元函数微分学和积分学的综合应用，需要按情况分类比较好（这是个坑嘛hhh）。

在谈论函数时，我们应该注意到函数的离散化—— 数列 ，并通过定理将数列的求解问题转为对等价函数的求解问题。

线代相关

线代主要操作对象是实数域中的向量（亦即函数），通过 行列式 推出 矩阵 概念，并将矩阵概念理解为线性系统即可。

理解矩阵后就可以通过矩阵运算实现线性变换，这里需要区分下 线性相关和线性无关 这两个核心概念，并基于两个概念分出后面各种衍生概念，包括极大无关组，合同矩阵，正定矩阵等。

将矩阵的概念再扩大，理解矩阵向量空间，在向量空间内则包含各种函数，其几何意义需要我们关注，包括平面，线的方程，以及二次型相关曲面和曲线的标准形。对标准形变基则可以化为9种不同的基本图形。

本质上，线代想要搞清的就是线性变换的问题，即给定一个函数f，如何通过线性变换让f变为g，使其简化。

概率相关

概率首先要明确 事件 ，然后是 概率 的内涵。注意概率对标集合，从集合的运算推出概率的运算及性质。

对有限情况我们可以沿用高中学的古典概，而经典分布则为 0-1，伯努利，泊松，几何，超几何 ，这些概念是逐渐衍生推广的，对标样本点n从有限到无穷。（伯努利是0-1的n重，泊松是n趋于无穷的结果，推导要用数分知识）

注意到无穷的情况，我们需要更加细密的颗粒度，即 几何概 ，其代表古典概样本趋于无穷的情况，但需要空间仍然可度量。

与从一元函数到多元函数的过程类似，我们提出随机变量的概念，并将其推广到多元，那么多元如何退化为一元呢？只需要 边缘概 就好（也即消元，可以理解为条件概）

几何分布的内容比离散的古典概分布丰富，最出名的当然属 高斯正态分布 ，公式放在这里了：
$$ p_1(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\varrho^2}}exp\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\varrho^2}\} $$

一维放了那二维还会远吗（笑），二维分布如下，注意多了 $\rho$ 表示两维的关联性。

$$ p_2(x,y) = \frac{1}{2\pi\varrho_1\varrho_2\sqrt{1-\rho^2}}exp\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)}[(\frac{x-\mu_1}{\varrho_1})^2 + (\frac{y-\mu_2}{\varrho_2})^2 - 2\rho(\frac{x-\mu_1}{\varrho_1})(\frac{y-\mu_2}{\varrho_2})] \} $$

二维公式的背诵技巧：一维乘以一维，前面系数除以 $\sqrt{1-\rho^2}$ 是为了单位化，正常乘 $\sqrt{2\pi}$ 就打开根号了。后面e指数上系数看作平方公式，打开时候系数整体多系数$1-\rho^2$表单位化，平方公式把括号打开了，有xy那项多了系数$\rho$（x平方和y平方都是自己和自己的关系，不可能存在相关系数，正常写）

考试需要会背会默。

除了正态分布，还有t分布，莱斯分布，瑞利分布等，这些分布在不同的场合也有应用。

再之后就是对应分布的 数字特征 了，典型的是均值，方差，矩，协方差等。

最后解决实际问题，大数定理与中心极限定理，参数估计和假设检验。三大板块一般出大题，套路比较明显。

提后话

上面的内容不是想给出每个具体公式的推导之类，而是想梳理下知识的脉络，个人喜欢先列个大纲，再填充枝叶。数学作为工具到后面都是要用的，如果只看枝叶而不管联系，到实际问题时很可能就无法联想到解决问题的抓手，一堆公式不知道用哪个，怎么变形凑成目标形式。

温故知新，希望数学下次不要再给我使绊子了

以上内容为作者不看课本默出，如有谬误请评论走起。毕竟作者只是个被数学折磨的小白罢了（悲）